極限
極限
$\lim_{ x \to +0 } \frac{1}{x} = \infty$
\lim_{ x \to +0 } \frac{1}{x} = \infty
limit（極限）に由来しています。
極限（大）
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } f_n(x) = f(x)$
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } f_n(x) = f(x)
\displaystyle をつけると大きく表示されます。下付きの式が、lim の下側に表示されます。
上極限
$\limsup_{ n \to \infty } a_n$
\limsup_{ n \to \infty } a_n
limit superior（上極限）に由来しています。
上極限（簡略）
$\varlimsup_{ n \to \infty } a_n$
\varlimsup_{ n \to \infty } a_n
下極限
$\liminf_{ n \to \infty } a_n$
\liminf_{ n \to \infty } a_n
limit inferior（下極限）に由来しています。
下極限（簡略）
$\varliminf_{ n \to \infty } a_n$
\varliminf_{ n \to \infty } a_n
上極限サンプル
$\begin{eqnarray} \varlimsup_{ n \to \infty } a_n = \lim_{ n \to \infty } \sup_{ k \geqq n } a_k \end{eqnarray}$
\begin{eqnarray}
\varlimsup_{ n \to \infty } a_n
= \lim_{ n \to \infty } \sup_{ k \geqq n } a_k
\end{eqnarray}
数列の上極限の例です。
下極限サンプル
$\begin{eqnarray} \varliminf_{ n \to \infty } A_n = \bigcup_{ n = 1 }^{ \infty } \bigcap_{ k = n }^{ \infty } A_k = \bigcup_{ n \in \mathbb{ N } } \bigcap_{ k \geqq n } A_k \end{eqnarray}$
\begin{eqnarray}
\varliminf_{ n \to \infty } A_n
= \bigcup_{ n = 1 }^{ \infty } \bigcap_{ k = n }^{ \infty } A_k
= \bigcup_{ n \in \mathbb{ N } } \bigcap_{ k \geqq n } A_k
\end{eqnarray}
集合の下極限の例です。
ランダウの記号
$\mathcal{O}$
\mathcal{O}
カリグラフィーフォントの O でランダウの記号を表すことがあります。